$\triangle OAB$において、辺$OA$を$1:2$に内分する点を$M$、辺$OB$を$3:4$に内分する点を$N$とする。線分$BM$と線分$AN$の交点を$P$、直線$OP$と辺$AB$の交点を$Q$とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$で表せ。 (2) $OP:PQ$を求めよ。

## 問題8

1. **問題の内容**

$\triangle OAB$において、辺$OA$を$1:2$に内分する点を$M$、辺$OB$を$3:4$に内分する点を$N$とする。線分$BM$と線分$AN$の交点を$P$、直線$OP$と辺$AB$の交点を$Q$とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$で表せ。

(2) $OP:PQ$を求めよ。

2. **解き方の手順**

**(1) $\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$で表す**

まず、点$P$が線分$BM$上にあることから、$s$を実数として

$$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{OM} = (1-s)\vec{b} + s\frac{1}{3}\vec{a} = \frac{s}{3}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$$

と表せる。

次に、点$P$が線分$AN$上にあることから、$t$を実数として

$$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{ON} = (1-t)\vec{a} + t\frac{3}{7}\vec{b} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{7}\vec{b}$$

と表せる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$$\frac{s}{3} = 1-t$$

$$1-s = \frac{3t}{7}$$

これらの連立方程式を解く。

一つ目の式より$s = 3-3t$。これを二つ目の式に代入すると

$$1-(3-3t) = \frac{3t}{7}$$

$$-2+3t = \frac{3t}{7}$$

$$21t - 6 = 3t$$

$$18t = 6$$

$$t = \frac{1}{3}$$

したがって、$s = 3-3(\frac{1}{3}) = 3-1 = 2$となる。

これより、$\overrightarrow{OP}$は

$$\overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{7}\vec{b} = (1-\frac{1}{3})\vec{a} + \frac{3(\frac{1}{3})}{7}\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}$$

と表せる。

**(2) $OP:PQ$を求める**

点$Q$は直線$OP$上にあるので、$k$を実数として$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$と表せる。よって、

$$\overrightarrow{OQ} = k(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}) = \frac{2k}{3}\vec{a} + \frac{k}{7}\vec{b}$$

また、点$Q$は直線$AB$上にあるので、$\ell$を実数として、

$$\overrightarrow{OQ} = (1-\ell)\overrightarrow{OA} + \ell\overrightarrow{OB} = (1-\ell)\vec{a} + \ell\vec{b}$$

と表せる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$$\frac{2k}{3} = 1-\ell$$

$$\frac{k}{7} = \ell$$

これらの連立方程式を解く。

二つ目の式より、$\ell = \frac{k}{7}$。これを一つ目の式に代入すると

$$\frac{2k}{3} = 1 - \frac{k}{7}$$

$$14k = 21 - 3k$$

$$17k = 21$$

$$k = \frac{21}{17}$$

よって、$\overrightarrow{OQ} = \frac{21}{17}\overrightarrow{OP}$であるから、

$OQ = \frac{21}{17} OP$となる。

$OQ = OP + PQ$より、$PQ = OQ - OP = \frac{21}{17}OP - OP = \frac{4}{17}OP$。

したがって、$OP:PQ = OP:\frac{4}{17}OP = 1:\frac{4}{17} = 17:4$

3. **最終的な答え**

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}$

(2) $OP:PQ = 17:4$