関数 $y = x^2$ 上に点A, Bがあり、直線 $y = -2x - 4$ 上に点Cがある。点A, B, Cのx座標はそれぞれ-1, k, k-4である。 (1) 点Aのy座標を求める。 (2) k=3のとき、直線ABの傾きを求める。 (3) 直線ABの傾きと切片をkを用いて表す。 (4) 3点A, B, Cが三角形を作らないようなkの値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2$ 上に点A, Bがあり、直線 $y = -2x - 4$ 上に点Cがある。点A, B, Cのx座標はそれぞれ-1, k, k-4である。

(1) 点Aのy座標を求める。

(2) k=3のとき、直線ABの傾きを求める。

(3) 直線ABの傾きと切片をkを用いて表す。

(4) 3点A, B, Cが三角形を作らないようなkの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aのx座標は-1なので、y座標は $y = (-1)^2 = 1$。

(2) k=3のとき、A(-1, 1), B(3, 9)。

直線ABの傾きは $\frac{9 - 1}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2$。

(3) (i) A(-1, 1), B(k, $k^2$)より、直線ABの傾きは

$\frac{k^2 - 1}{k - (-1)} = \frac{(k-1)(k+1)}{k+1} = k-1$。

(ii) 直線ABの式は $y = (k-1)x + b$ と表せる。

点A(-1, 1)を通るので、 $1 = (k-1)(-1) + b$ より、 $1 = -k + 1 + b$。

したがって、 $b = k$。

直線ABの切片はk。

(4) 3点A, B, Cが一直線上にあるとき、三角形を作らない。

直線ABの式は $y = (k-1)x + k$。

A(-1, 1), B(k, $k^2$), C(k-4, -2(k-4) - 4) = (k-4, -2k + 8 - 4) = (k-4, -2k + 4)。

3点A, B, Cが同一直線上にあるとき、直線ABと直線ACの傾きは等しい。

直線ABの傾きは $k-1$。

直線ACの傾きは $\frac{(-2k + 4) - 1}{(k-4) - (-1)} = \frac{-2k + 3}{k - 3}$。

よって、 $k - 1 = \frac{-2k + 3}{k - 3}$。

$(k - 1)(k - 3) = -2k + 3$

$k^2 - 4k + 3 = -2k + 3$

$k^2 - 2k = 0$

$k(k - 2) = 0$

$k = 0, 2$

$k > 0$ より、 $k = 2$。

3点A, B, Cが同一直線上にない場合も考えられる。

ABの傾きが定義できない場合。k=-1を除く。

ACの傾きが定義できない場合。k=3を除く。

k=2のとき、A(-1, 1), B(2, 4), C(-2, 0)。

ABの傾きは $\frac{4-1}{2-(-1)} = \frac{3}{3} = 1$。

ACの傾きは $\frac{0-1}{-2-(-1)} = \frac{-1}{-1} = 1$。

BCの傾きは $\frac{0-4}{-2-2} = \frac{-4}{-4} = 1$。

k=2のとき、3点は同一直線上に存在する。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 2

(3) (i) k-1

(ii) k

(4) 2