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$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin \theta$ の値を求めよ。

解析学三角関数加法定理三角関数の合成sin
2025/3/17

1. 問題の内容

sin⁡(θ+π3)+sin⁡(θ−π3)−sin⁡θ\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin \theta の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を用いて sin⁡(θ+π3)\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) と sin⁡(θ−π3)\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) を展開します。
sin⁡(θ+π3)=sin⁡θcos⁡π3+cos⁡θsin⁡π3\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}
sin⁡(θ−π3)=sin⁡θcos⁡π3−cos⁡θsin⁡π3\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}
ここで、cos⁡π3=12\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} と sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} であるから、
sin⁡(θ+π3)=12sin⁡θ+32cos⁡θ\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta
sin⁡(θ−π3)=12sin⁡θ−32cos⁡θ\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta
したがって、
sin⁡(θ+π3)+sin⁡(θ−π3)−sin⁡θ=(12sin⁡θ+32cos⁡θ)+(12sin⁡θ−32cos⁡θ)−sin⁡θ\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sin \theta = (\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) + (\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) - \sin \theta
=12sin⁡θ+32cos⁡θ+12sin⁡θ−32cos⁡θ−sin⁡θ= \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \sin \theta
=sin⁡θ−sin⁡θ= \sin \theta - \sin \theta
=0= 0

3. 最終的な答え

0

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