$|a| < 1$, $|b| < 1$, $|c| < 1$ のとき、次の不等式を証明せよ。 (2) $abc + 2 > a + b + c$

1. 問題の内容

$|a| < 1$, $|b| < 1$, $|c| < 1$ のとき、次の不等式を証明せよ。

(2) $abc + 2 > a + b + c$

2. 解き方の手順

まず、問題(1)の結果、$ab + 1 > a + b$ を利用します。問題(1)で $a$ を $ab$, $b$ を $c$ に置き換えることによって、$abc + 1 > ab + c$ という不等式が得られます。

$abc + 1 > ab + c \cdots (1)$

次に、$|a| < 1$, $|b| < 1$ から、問題(1)の結果より、$ab + 1 > a + b$ という不等式が得られます。

$ab + 1 > a + b \cdots (2)$

不等式(1)と不等式(2)のそれぞれの左辺と右辺を足し合わせると、

$abc + 1 + ab + 1 > ab + c + a + b$

$abc + ab + 2 > a + 2ab + c$

この式の$ab$を消去すると、$abc + 2 > a + b + c$ を示すことができます。

ただし、不等式(1)と不等式(2)を加える前に(2)を変形し、左辺に $ab$ が来るようにします。

$ab + 1 > a + b$ より、$ab + 1 > a + b$ 。

したがって、$abc + 1 > ab + c$ と $ab + 1 > a + b$ の両辺を足し合わせると、

$abc + 1 + ab + 1 > ab + c + a + b$

$abc + ab + 2 > a + 2ab + c$

となります。

(1)より、$ab + 1 > a + b$だから、$ab + 1 - (a + b) > 0$ です。

$ab + 1 + abc + 1 - (a + b + c + ab) = abc + 2 - (a + b + c)$ を示します。

$|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ かつ $|c| < 1$ なので、$|ab| < 1$ です。

$ab \cdot c + 1 > ab + c$ です。

(1)より、$ab \cdot c + 1 > ab + c \cdots (1)$

$|a| < 1$, $|b| < 1$ から、(1)により、$ab + 1 > a + b \cdots (2)$

(1)と(2)の辺々を加えて、$abc + ab + 2 > ab + c + a + b$

したがって、$abc + 2 > a + b + c$

3. 最終的な答え

$abc + 2 > a + b + c$