数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + n + 1$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + n + 1$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \geq 2$ のとき、$a_n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ を用いて次のように表せます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = n^2 + n + 1$ であるから、$S_{n-1}$ は次のように表されます。

$S_{n-1} = (n-1)^2 + (n-1) + 1 = (n^2 - 2n + 1) + (n - 1) + 1 = n^2 - n + 1$

したがって、$a_n$ は次のように計算できます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + n + 1) - (n^2 - n + 1) = 2n$

次に、$n=1$ のとき、$a_1 = S_1$ であるから、$a_1$ は次のように計算できます。

$a_1 = S_1 = 1^2 + 1 + 1 = 3$

ここで、$a_n = 2n$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) = 2$ となり、$a_1 = 3$ と矛盾します。

したがって、$n \geq 2$ のとき、$a_n = 2n$ であり、$a_1 = 3$ です。

これをまとめて表現すると、

$a_1 = 3$

$a_n = 2n$ ($n \geq 2$)

3. 最終的な答え

$a_1 = 3$

$a_n = 2n$ ($n \geq 2$)