全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x \text{は整数} \}$、部分集合 $A = \{3, 6, 9\}$、 $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (2) $\overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 10, x \text{は整数} \}$、部分集合 $A = \{3, 6, 9\}$、 $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。まず、全体集合 $U$ を書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

次に、集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求める。$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

次に、集合 $B$ の補集合 $\overline{B}$ を求める。$\overline{B}$ は $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7, 10\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$

別解：

ド・モルガンの法則を用いると、

(1) $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$

$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 5, 7, 10\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$

$A \cap B = \{6\}$

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 5, 7, 10\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$