全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の条件が与えられている。 $A \cap B^c = \{2, 6, 8\}$ $A^c \cap B = \{5\}$ $A \cap B = \{4, 9\}$ (1) $A \cup B$ を求める。 (2) $B$ を求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、以下の条件が与えられている。

$A \cap B^c = \{2, 6, 8\}$

$A^c \cap B = \{5\}$

$A \cap B = \{4, 9\}$

(1) $A \cup B$ を求める。

(2) $B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A \cup B$ について:

$A \cup B$ は、$A$ または $B$ に含まれる要素の集合である。

与えられた条件から、$A$ にのみ含まれる要素は $\{2, 6, 8\}$、$B$ にのみ含まれる要素は $\{5\}$、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素は $\{4, 9\}$ である。

したがって、$A \cup B$ はこれらの要素をすべて含む集合である。

$A \cup B = (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \cup (A \cap B)$

$A \cup B = \{2, 6, 8\} \cup \{5\} \cup \{4, 9\}$

$A \cup B = \{2, 4, 5, 6, 8, 9\}$

(2) $B$ について:

$B$ は、$B$ にのみ含まれる要素と、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を合わせた集合である。

$B = (A^c \cap B) \cup (A \cap B)$

$B = \{5\} \cup \{4, 9\}$

$B = \{4, 5, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{2, 4, 5, 6, 8, 9\}$

(2) $B = \{4, 5, 9\}$