問題は、$A \cap B = \overline{A \cup B}$ が成り立つことを、図（おそらくベン図）を用いて確かめることです。ここで、$\overline{X}$は集合$X$の補集合を表します。

1. 問題の内容

問題は、$A \cap B = \overline{A \cup B}$ が成り立つことを、図（おそらくベン図）を用いて確かめることです。ここで、$\overline{X}$は集合$X$の補集合を表します。

2. 解き方の手順

ベン図を用いて、$A \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ が同じ領域を表すことを示します。

ステップ1：$A \cap B$ をベン図に塗りつぶします。これは、$A$と$B$の両方に含まれる領域です。

ステップ2：$A \cup B$ をベン図に塗りつぶします。これは、$A$または$B$に含まれる領域（両方含む）です。

ステップ3：$\overline{A \cup B}$ をベン図に塗りつぶします。これは、$A \cup B$ に含まれない領域、つまり、全体集合のうち、$A$にも$B$にも含まれない領域です。

ステップ4：ステップ1で塗りつぶした$A \cap B$の領域と、ステップ3で塗りつぶした$\overline{A \cup B}$の領域を比較します。

もし、$A \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ が等しい場合、ベン図において同じ領域が塗りつぶされているはずです。

この等式が成り立つための条件を考えます。

$A \cap B = \overline{A \cup B}$ であるためには、

$A \cap B = A^c \cap B^c$ となり、

これは、$A \cap B$ が空集合の場合にのみ成立します。

つまり、$A$と$B$が共通の要素を持たない場合に成立します。

また、$A \cup B$ が全体集合である場合に、

$\overline{A \cup B}$ が空集合であるため、$A \cap B$ も空集合となり成り立ちます。

しかし、一般的には成り立ちません。例えば、$A = \{1, 2\}$、$B = \{2, 3\}$ の場合、$A \cap B = \{2\}$ であり、これは空集合ではありません。$A \cup B = \{1, 2, 3\}$ であり、$U$を全体集合とすると、$\overline{A \cup B} = U - \{1, 2, 3\}$となります。これが$\{2\}$と等しくなることはありません。

もし問題が $A \cap B = \overline{A \cup B}$ が成り立つのはどのような場合か？　という事であれば、

$A \cap B = \emptyset$　かつ　$A \cup B = U$（全体集合）が条件です。

この時、$\overline{A \cup B} = \emptyset$ となり、$A \cap B = \overline{A \cup B} = \emptyset$ となります。

3. 最終的な答え

$A \cap B = \overline{A \cup B}$ が成り立つのは、$A \cap B = \emptyset$　かつ　$A \cup B = U$（全体集合）の時です。

$A$と$B$が共通の要素を持たず、かつ、$A$と$B$の和集合が全体集合である場合のみ、$A \cap B = \overline{A \cup B}$ が成立します。