問題は、ド・モルガンの法則の一つである $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを、図を用いて確かめることです。ここで、$A$ と $B$ は集合、$U$ は全体集合、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。

1. 問題の内容

問題は、ド・モルガンの法則の一つである $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことを、図を用いて確かめることです。ここで、$A$ と $B$ は集合、$U$ は全体集合、$\overline{A}$ は $A$ の補集合を表します。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A \cap B}$ が表す領域を図示します。$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。したがって、$\overline{A \cap B}$ は全体集合 $U$ から $A \cap B$ を除いた領域になります。

次に、$\overline{A} \cup \overline{B}$ が表す領域を図示します。$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$\overline{B}$ は $B$ の補集合です。したがって、$\overline{A} \cup \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合、つまり $\overline{A}$ または $\overline{B}$ に含まれるすべての要素の集合を表します。

$\overline{A}$ の領域は、$U$ から $A$ を除いた領域であり、$\overline{B}$ の領域は、$U$ から $B$ を除いた領域です。したがって、$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれない領域を表します。

$\overline{A \cap B}$ を図示すると、$A$ と $B$ の両方に含まれる部分を除いた領域になります。同様に、$\overline{A} \cup \overline{B}$ を図示すると、$A$ と $B$ の両方に含まれる部分を除いた領域になります。

これらの領域を図示すると、$\overline{A \cap B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ が表す領域は一致することがわかります。

3. 最終的な答え

$\overline{A \cap B}$ が表す領域と $\overline{A} \cup \overline{B}$ が表す領域は一致するため、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つ。