全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$ が与えられています。 このとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A} \cap B$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A \cap B}$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 6\}$ が与えられています。

このとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A} \cap B$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A \cap B}$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$U$ から $B$ の要素 $\{3, 6\}$ を取り除いたものです。

(2) $\overline{A} \cap B$ は、$A$ の補集合 $\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。まず $\overline{A}$ を求め、次に $B$ との共通部分を求めます。

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$

$\overline{A} \cap B = \{3, 6\} \cap \{4, 5, 6\}$

(3) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分です。まず $\overline{B}$ を求め、次に $A$ との共通部分を求めます。

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$A$ の補集合 $\overline{A}$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の和集合です。$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求め、それらの和集合を求めます。

(5) $\overline{A \cap B}$ は、$A$ と $B$ の共通部分 $A \cap B$ の補集合です。まず $A \cap B$ を求め、次にその補集合を求めます。

$A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{3, 6\}$

(6) これは(3)と同じです。

各集合を計算していきます。

(1)

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{3, 6\} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2)

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{1, 2, 3\} = \{4, 5, 6\}$

$\overline{A} \cap B = \{4, 5, 6\} \cap \{3, 6\} = \{6\}$

(3)

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2\}$

(4)

$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{4, 5, 6\} \cup \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(5)

$A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{3, 6\} = \{3\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{3\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6)

$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$ (これは(3)と同じ)

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$