全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合として、$A = \{1, 2, 3, 4\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられています。次の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{A} \cap B$ (5) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合として、$A = \{1, 2, 3, 4\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられています。次の集合を求めます。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{A} \cap B$

(5) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。$A = \{1, 2, 3, 4\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ より、共通部分は $\{2, 4\}$ です。

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合です。つまり、$A$ に含まれる要素と $B$ に含まれる要素をすべて集めた集合です。$A = \{1, 2, 3, 4\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ より、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ です。

(3) $\overline{A}$ は、$A$ の補集合です。つまり、全体集合 $U$ のうち、$A$ に含まれない要素を集めた集合です。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ と $A = \{1, 2, 3, 4\}$ より、$\overline{A} = \{5, 6, 7\}$ です。

(4) $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。$\overline{A} = \{5, 6, 7\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ より、$\overline{A} \cap B = \{6\}$ です。

(5) $A \cup \overline{B}$ を求めます。まず、$\overline{B}$ を求めます。$\overline{B}$ は、$B$ の補集合です。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ より、$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$ です。

次に、$A \cup \overline{B}$ を求めます。$A = \{1, 2, 3, 4\}$ と $\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$ より、$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 4\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$

(3) $\overline{A} = \{5, 6, 7\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(5) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$