全体集合 $U$ と部分集合 $A$, $B$ が与えられているとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $A \cap \overline{B}$ (6) $A \cap B$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ と部分集合 $A$, $B$ が与えられているとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $A \cap \overline{B}$

(6) $A \cap B$

2. 解き方の手順

問題文には集合 $U$, $A$, $B$ の具体的な要素が与えられていないため、集合演算の定義に従って考える必要があります。

(1) $\overline{B}$ は、$U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素全体の集合です。

(2) $\overline{A \cap B}$ は、$A$ と $B$ の共通部分に含まれない要素全体の集合です。すなわち、$A \cap B$ の補集合です。ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ とも表せます。

(3) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ に含まれ、$B$ に含まれない要素全体の集合です。

(4) $\overline{A \cup B}$ は、$A$ または $B$ に含まれる要素全体の集合の補集合です。すなわち、$A \cup B$ に含まれない要素全体の集合です。ド・モルガンの法則より、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ とも表せます。

(5) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ に含まれ、$B$ に含まれない要素全体の集合です。(3)と同じです。

(6) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素全体の集合です。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B}$ : $B$ の補集合

(2) $\overline{A \cap B}$ : $A \cap B$ の補集合 ($\overline{A} \cup \overline{B}$ と同等)

(3) $A \cap \overline{B}$ : $A$ に含まれ、$B$ に含まれない要素の集合

(4) $\overline{A \cup B}$ : $A \cup B$ の補集合 ($\overline{A} \cap \overline{B}$ と同等)

(5) $A \cap \overline{B}$ : $A$ に含まれ、$B$ に含まれない要素の集合

(6) $A \cap B$ : $A$ と $B$ の共通部分