集合$U, A, B$について、以下の個数を求めよ。 (1) $n(U)$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$ ただし、$n(X)$は集合$X$の要素の個数を表し、$\overline{X}$は集合$X$の補集合を表す。また、問題文に「例1の集合$U,A,B$について」とあるが、例1の情報が与えられていないため、これらの具体的な値を求めることはできない。したがって、それぞれの個数を求める式を記述する。

1. 問題の内容

集合$U, A, B$について、以下の個数を求めよ。

(1) $n(U)$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

ただし、$n(X)$は集合$X$の要素の個数を表し、$\overline{X}$は集合$X$の補集合を表す。また、問題文に「例1の集合$U,A,B$について」とあるが、例1の情報が与えられていないため、これらの具体的な値を求めることはできない。したがって、それぞれの個数を求める式を記述する。

2. 解き方の手順

(1) $n(U)$は、全体集合$U$の要素の個数である。これは問題文に具体的な値が与えられていないため、そのまま$n(U)$と表す。

(2) $n(\overline{B})$は、集合$B$の補集合の要素の個数である。全体集合$U$の要素の個数から集合$B$の要素の個数を引くことで求められる。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

(3) $n(A \cap B)$は、集合$A$と集合$B$の共通部分の要素の個数である。これも問題文に具体的な値が与えられていないため、そのまま$n(A \cap B)$と表す。

(4) $n(\overline{A \cup B})$は、集合$A \cup B$の補集合の要素の個数である。全体集合$U$の要素の個数から$n(A \cup B)$を引くことで求められる。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

ここで、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$であるから、

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - (n(A) + n(B) - n(A \cap B))$

(5) $n(A \cap \overline{B})$は、集合$A$と集合$B$の補集合の共通部分の要素の個数である。これは集合$A$から集合$A \cap B$の要素の個数を引くことで求められる。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

3. 最終的な答え

(1) $n(U)$

(2) $n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A) - n(B) + n(A \cap B)$

(5) $n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$