全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 4, 6\}$ について、以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $n(U)$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(A \cap B)$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 4, 6\}$ について、以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $n(U)$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(A \cap B)$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(U)$ は集合 $U$ の要素の個数を表す。 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ なので、 $n(U) = 6$ である。

(2) $n(\overline{B})$ は集合 $B$ の補集合の要素の個数を表す。 $B = \{2, 4, 6\}$ なので、 $\overline{B} = U - B = \{1, 3, 5\}$。したがって、$n(\overline{B}) = 3$ である。

(3) $n(A \cap B)$ は集合 $A$ と $B$ の共通部分の要素の個数を表す。 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 4, 6\}$ なので、$A \cap B = \{2, 4\}$。したがって、$n(A \cap B) = 2$ である。

(4) $n(\overline{A \cup B})$ は集合 $A \cup B$ の補集合の要素の個数を表す。 問題文より $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ なので、 $\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{5\}$。したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 1$ である。

(5) $n(A \cap \overline{B})$ は集合 $A$ と $B$ の補集合の共通部分の要素の個数を表す。 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、$\overline{B} = \{1, 3, 5\}$ なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$。したがって、$n(A \cap \overline{B}) = 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $n(U) = 6$

(2) $n(\overline{B}) = 3$

(3) $n(A \cap B) = 2$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 1$

(5) $n(A \cap \overline{B}) = 2$