問題5では、与えられた条件が、他の条件を満たすために、十分条件、必要条件、必要十分条件のいずれに該当するかを判断します。問題6では、与えられた命題の対偶を記述します。問題7では、与えられた全体集合、集合A、集合Bに対して、集合の共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$ を求めます。

1. 問題の内容

問題5では、与えられた条件が、他の条件を満たすために、十分条件、必要条件、必要十分条件のいずれに該当するかを判断します。問題6では、与えられた命題の対偶を記述します。問題7では、与えられた全体集合、集合A、集合Bに対して、集合の共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$ を求めます。

2. 解き方の手順

問題5:

(1) $x=4$ は $x^2=16$ であるための条件を考えます。

$x=4$ ならば $x^2=16$ は成り立ちますが、$x^2=16$ ならば $x=4$ または $x=-4$ なので、$x=4$ とは限りません。したがって、十分条件です。

(2) $x>1$ は $x>2$ であるための条件を考えます。

$x>1$ は $x>2$ であるための必要条件です。$x>2$ ならば $x>1$ は必ず成り立ちますが、$x>1$ でも $x \le 2$ の場合があるので、$x>2$ とは限りません。

(3) $x^2=5$ は $x=\sqrt{5}$ であるための条件を考えます。

$x^2 = 5$ は $x = \sqrt{5}$ または $x = -\sqrt{5}$ を意味します。$x = \sqrt{5}$ は $x^2 = 5$ を満たします。

$x^2 = 5$ は $x=\sqrt{5}$ であるための必要条件です。

(4) $(x-2)^2 = 0$ は $x=2$ であるための条件を考えます。

$(x-2)^2 = 0$ のとき $x-2 = 0$ なので、$x=2$ です。逆に、$x=2$ ならば $(x-2)^2 = (2-2)^2 = 0$ です。したがって、必要十分条件です。

問題6:

(1) $x=6 \implies x^2=36$ の対偶は、$x^2 \neq 36 \implies x \neq 6$

(2) $n$は4の倍数 $\implies$ $n$は2の倍数 の対偶は、$n$は2の倍数ではない $\implies$ $n$は4の倍数ではない

問題7:

全体集合 $U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A=\{1, 3, 5, 6, 7, 9\}, B=\{2, 3, 4, 5, 7\}$

(1) $A \cap B$ は A と B の共通部分なので、$A \cap B = \{3, 5, 7\}$

(2) $A \cup B$ は A と B の和集合なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

3. 最終的な答え

問題5:

(1) 十分条件

(2) 必要条件

(3) 必要条件

(4) 必要十分条件

問題6:

(1) $x^2 \neq 36 \implies x \neq 6$

(2) $n$は2の倍数ではない $\implies$ $n$は4の倍数ではない

問題7:

(1) $A \cap B = \{3, 5, 7\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$