全体集合$U$と部分集合$A$, $B$について、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $A \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U$と部分集合$A$, $B$について、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $A \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

集合の補集合、共通部分、和集合の定義を理解していることが前提となります。

(1) $\overline{B}$ は、$B$の補集合を表し、$U$の中で$B$に属さない要素の集合です。

(2) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$の補集合を表し、$U$の中で$A$と$B$の両方に属する要素以外の集合です。ド・モルガンの法則を用いると、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$となります。

(3) $\overline{A} \cap B$ は、$A$の補集合と$B$の共通部分を表し、$A$に属さず、$B$に属する要素の集合です。

(4) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$の補集合を表し、$U$の中で$A$または$B$に属する要素以外の集合です。ド・モルガンの法則を用いると、$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$となります。

(5) $A \cap B$ は、$A$と$B$の共通部分を表し、$A$と$B$の両方に属する要素の集合です。

(6) $A \cap \overline{B}$ は、$A$と$B$の補集合の共通部分を表し、$A$に属し、$B$に属さない要素の集合です。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $A \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$