全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 8\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$について、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $A \cup \overline{B}$ (6) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$の部分集合$A = \{1, 2, 4, 8\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$について、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $A \cup \overline{B}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、補集合$\overline{A}$と$\overline{B}$を求める。

$\overline{A}$は$U$から$A$の要素を除いた集合である。

$\overline{B}$は$U$から$B$の要素を除いた集合である。

次に、(3)から(6)について、それぞれ集合の演算を行う。

(1) $\overline{A}$を求める。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 4, 8\}$

$\overline{A} = U - A = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $\overline{B}$を求める。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = U - B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(3) $\overline{A} \cap B$を求める。

$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{A} \cap B = \{3, 5, 7, 9\}$

(4) $\overline{A \cup B}$を求める。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{6, 10\}$

(5) $A \cup \overline{B}$を求める。

$A = \{1, 2, 4, 8\}$

$\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 8, 10\}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$を求める。

$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{6, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{3, 5, 7, 9\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{6, 10\}$

(5) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 8, 10\}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{6, 10\}$