この問題は、集合、補集合、共通部分、和集合、そして命題の真偽を判定し、偽の場合は反例を求める問題です。具体的には、以下の項目について答える必要があります。 * 3の倍数の集合Aとその補集合 * 12の約数の集合Bとその補集合 * 与えられた集合A, Bの共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$ * 与えられた命題の真偽の判定と、偽の場合の反例

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

この問題は、集合、補集合、共通部分、和集合、そして命題の真偽を判定し、偽の場合は反例を求める問題です。具体的には、以下の項目について答える必要があります。

* 3の倍数の集合Aとその補集合

* 12の約数の集合Bとその補集合

* 与えられた集合A, Bの共通部分 $A \cap B$ と和集合 $A \cup B$

* 与えられた命題の真偽の判定と、偽の場合の反例

2. 解き方の手順

まず、集合A, Bおよび補集合、共通部分、和集合の定義を確認します。

次に、それぞれの問題について、定義に基づいて計算または判断を行います。

命題の真偽を判定する際には、命題が常に成り立つかどうかを検討し、成り立たない場合は反例を挙げます。

(1) 3の倍数の集合Aを求めるには、3で割り切れる数をいくつか列挙します。Aの補集合は、3の倍数ではない数の集合です。ただし、全体集合が明示されていないので、ここではA={3,6,9,...}、Aの補集合をA={x| xは3の倍数ではない整数}とします。

(2) 12の約数の集合Bは、12を割り切れる数の集合です。Bの補集合は、12の約数ではない数の集合です。ただし、全体集合が明示されていないので、B={1,2,3,4,6,12}、Bの補集合をB={x| xは12の約数ではない整数}とします。

(3) 集合A, Bが与えられたとき、共通部分 $A \cap B$ は、AとBの両方に含まれる要素の集合です。和集合 $A \cup B$ は、AまたはBに含まれる要素の集合です。

(4) 命題 $P \Rightarrow Q$ が真であるとは、Pが成り立つならば必ずQが成り立つことです。命題が偽であるとは、Pが成り立つにもかかわらずQが成り立たない例が存在することです。この例を反例といいます。

それでは、各問題について具体的に計算・判断を行い、解答を以下に示します。

(1)

A = {3, 6, 9, ...}

Aの補集合 = {x | xは3の倍数ではない整数}

(2)

B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Bの補集合 = {x | xは12の約数ではない整数}

【2】

(1) A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}

$A \cap B$ = {3, 5, 7}

$A \cup B$ = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

(2) A = {2, 4, 6, 8}, B = {3, 6, 9}

$A \cap B$ = {6}

$A \cup B$ = {2, 3, 4, 6, 8, 9}

【3】

(1) $x = -2 \Rightarrow 3x = -6$

真。反例：なし

(2) $3x = -6 \Rightarrow x = -2$

真。反例：なし

(3) $x = 5 \Rightarrow x^2 = 25$

真。反例：なし

(4) $x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$

偽。反例：x = -5

3. 最終的な答え

(1) A = {3, 6, 9, ...}

Aの補集合 = {x | xは3の倍数ではない整数}

(2) B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Bの補集合 = {x | xは12の約数ではない整数}

【2】

(1) $A \cap B$ = {3, 5, 7}

$A \cup B$ = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

(2) $A \cap B$ = {6}

$A \cup B$ = {2, 3, 4, 6, 8, 9}

【3】

(1) 真。反例：なし

(2) 真。反例：なし

(3) 真。反例：なし

(4) 偽。反例：x = -5