全体集合$U = \{x | xは10以下の自然数\}$、部分集合$A = \{2, 3, 6, 8, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 8\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A \cap B}$ (6) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{x | xは10以下の自然数\}$、部分集合$A = \{2, 3, 6, 8, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 8\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A \cap B}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$: 全体集合$U$から集合$A$の要素を取り除いた集合。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{A} = U - A = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

(2) $\overline{B}$: 全体集合$U$から集合$B$の要素を取り除いた集合。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{B} = U - B = \{2, 4, 6, 7, 9, 10\}$

(3) $\overline{A} \cap B$: 集合$\overline{A}$と集合$B$の共通部分。

$\overline{A} = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

$B = \{1, 3, 5, 8\}$

$\overline{A} \cap B = \{1, 5\}$

(4) $A \cup \overline{B}$: 集合$A$と集合$\overline{B}$の和集合。

$A = \{2, 3, 6, 8, 9\}$

$\overline{B} = \{2, 4, 6, 7, 9, 10\}$

$A \cup \overline{B} = \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(5) $\overline{A \cap B}$: 集合$A \cap B$の補集合。まずは、$A \cap B$を求める。

$A = \{2, 3, 6, 8, 9\}$

$B = \{1, 3, 5, 8\}$

$A \cap B = \{3, 8\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B}$: 集合$\overline{A}$と集合$\overline{B}$の共通部分。

$\overline{A} = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

$\overline{B} = \{2, 4, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 7, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 4, 5, 7, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{2, 4, 6, 7, 9, 10\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{1, 5\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(6) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 7, 10\}$