2次関数 $y = x^2 - 2ax - a + 2$ のグラフと $x$ 軸の共有点が $x > 0$ の範囲にのみあるように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax - a + 2$ のグラフと $x$ 軸の共有点が $x > 0$ の範囲にのみあるように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数 $y = x^2 - 2ax - a + 2$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は、2次方程式

$$x^2 - 2ax - a + 2 = 0$$

の実数解です。

この2次方程式が $x > 0$ の範囲にのみ解を持つための条件は、次の3つの場合に分けられます。

(i) 2つの解がともに正である場合。

(ii) 1つの解が正で、もう1つの解が負である場合。

(iii) 1つの解が正で、もう1つの解が0である場合。

まず、判別式を $D$ とすると、

$$D/4 = (-a)^2 - (-a + 2) = a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1)$$

実数解を持つためには、$D \geq 0$ である必要があるので、

$$(a+2)(a-1) \geq 0$$

$$a \leq -2 \quad \text{または} \quad a \geq 1$$

次に、解と係数の関係より、2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$$\alpha + \beta = 2a \\ \alpha \beta = -a + 2$$

(i) 2つの解がともに正である場合、$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ であるので、

$\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ が必要です。

したがって、

$$2a > 0 \quad \text{かつ} \quad -a + 2 > 0$$

$$a > 0 \quad \text{かつ} \quad a < 2$$

$$0 < a < 2$$

そして、$a \leq -2$ または $a \geq 1$ という条件と $0 < a < 2$ という条件を満たすのは $1 \leq a < 2$ です。

(ii) 1つの解が正で、もう1つの解が負である場合、$\alpha \beta < 0$ となるので、

$$-a + 2 < 0$$

$$a > 2$$

この場合、$a \leq -2$ または $a \geq 1$ という条件と $a > 2$ という条件を満たすのは $a > 2$ です。

(iii) 1つの解が正で、もう1つの解が0である場合、$\alpha \beta = 0$ となるので、

$$-a + 2 = 0$$

$$a = 2$$

この場合、$x^2 - 4x = 0$ より、$x = 0, 4$ となり、確かに条件を満たします。

以上より、 $1 \leq a < 2$ または $a > 2$ または $a = 2$ なので、$a \geq 1$ です。

3. 最終的な答え

$a \geq 1$