与えられた行列が正則でない（すなわち、逆行列を持たない）ような $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列が正則でない（すなわち、逆行列を持たない）ような $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

行列が正則でないのは、その行列式が 0 になるときです。与えられた行列の行列式を計算し、それが 0 になるような $x$ の値を求めます。与えられた行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix}$

行列式を計算します。

$\det \begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix} = (2-x) \begin{vmatrix} 3-x & -4 \\ 5 & -6-x \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -6-x \end{vmatrix} + (-4) \begin{vmatrix} 3 & 3-x \\ 3 & 5 \end{vmatrix}$

それぞれの2x2の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3-x & -4 \\ 5 & -6-x \end{vmatrix} = (3-x)(-6-x) - (-4)(5) = -18 -3x + 6x + x^2 + 20 = x^2 + 3x + 2$

$\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -6-x \end{vmatrix} = 3(-6-x) - (-4)(3) = -18 - 3x + 12 = -3x - 6$

$\begin{vmatrix} 3 & 3-x \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 3(5) - (3-x)(3) = 15 - 9 + 3x = 6 + 3x$

元の行列式に代入します。

$(2-x)(x^2+3x+2) - 4(-3x-6) - 4(6+3x) = (2x^2+6x+4-x^3-3x^2-2x) - (-12x-24) - (24+12x) = -x^3 -x^2 + 4x + 4 + 12x + 24 - 24 - 12x = -x^3 - x^2 + 4x + 4$

行列式 $= -x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0$ を解きます。

$-x^2(x+1) + 4(x+1) = 0$

$(x+1)(-x^2+4) = 0$

$(x+1)(2-x)(2+x) = 0$

したがって、$x = -1, 2, -2$

3. 最終的な答え

$x = -2, -1, 2$