$a > 0$ のとき、次の式を簡単にします。 (1) $\sqrt[4]{a} \times \sqrt{a}$ (2) $\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[5]{a^4}$

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、次の式を簡単にします。

(1) $\sqrt[4]{a} \times \sqrt{a}$

(2) $\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[5]{a^4}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[4]{a} \times \sqrt{a}$ を簡単にする。

まず、累乗根を指数の形に変換します。

$\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

したがって、

$\sqrt[4]{a} \times \sqrt{a} = a^{\frac{1}{4}} \times a^{\frac{1}{2}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を使います。

$a^{\frac{1}{4}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{3}{4}}$

最後に、指数の形を累乗根の形に戻します。

$a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$

(2) $\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[5]{a^4}$ を簡単にする。

まず、累乗根を指数の形に変換します。

$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{4}{5}}$

したがって、

$\sqrt[3]{a^2} \times \sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{4}{5}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を使います。

$a^{\frac{2}{3}} \times a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{10}{15} + \frac{12}{15}} = a^{\frac{22}{15}}$

最後に、指数の形を累乗根の形に戻します。

$a^{\frac{22}{15}} = a^{\frac{15}{15} + \frac{7}{15}} = a^{1 + \frac{7}{15}} = a \cdot a^{\frac{7}{15}} = a \sqrt[15]{a^7}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[4]{a^3}$

(2) $a\sqrt[15]{a^7}$