与えられた3つの対数の式を簡単に計算する問題です。 (1) $\log_4 8$ (2) $\log_9 3$ (3) $\log_3 2 \cdot \log_2 27$

1. 問題の内容

与えられた3つの対数の式を簡単に計算する問題です。

(1) $\log_4 8$

(2) $\log_9 3$

(3) $\log_3 2 \cdot \log_2 27$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 8$ の計算

まず、4と8をそれぞれ2の累乗で表します。

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

よって、

$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3$

対数の底の変換公式を利用します。

$\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$

$\log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

(2) $\log_9 3$ の計算

9と3をそれぞれ3の累乗で表します。

$9 = 3^2$

$3 = 3^1$

よって、

$\log_9 3 = \log_{3^2} 3^1$

対数の底の変換公式を利用します。

$\log_{3^2} 3^1 = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

(3) $\log_3 2 \cdot \log_2 27$ の計算

$27 = 3^3$ なので、$\log_2 27 = \log_2 3^3 = 3\log_2 3$となります。

$\log_3 2 \cdot \log_2 27 = \log_3 2 \cdot 3 \log_2 3 = 3 (\log_3 2 \cdot \log_2 3)$

ここで底の変換公式を利用します。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

$\log_3 2 \cdot \log_2 3 = \log_3 2 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 2} = \log_3 2 \cdot \frac{1}{\log_3 2} = 1$

よって、

$3 (\log_3 2 \cdot \log_2 3) = 3 \cdot 1 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $3$