与えられた3x3行列が正則でない（つまり、逆行列を持たない）ような $x$ の値を求める。行列は次のとおりです。 $ \begin{pmatrix} 2-x & 4 & -4 \\ 3 & 3-x & -4 \\ 3 & 5 & -6-x \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3x3行列が正則でない（つまり、逆行列を持たない）ような $x$ の値を求める。行列は次のとおりです。

$$

\begin{pmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列が正則でないのは、その行列式が0であるときです。したがって、与えられた行列の行列式を計算し、それが0になるような $x$ の値を求めます。

行列式は次のように計算できます。

$\begin{aligned}

\det \begin{pmatrix}

2-x & 4 & -4 \\

3 & 3-x & -4 \\

3 & 5 & -6-x

\end{pmatrix}

&= (2-x) \cdot ((3-x)(-6-x) - (-4)(5)) - 4 \cdot (3(-6-x) - (-4)(3)) + (-4) \cdot (3(5) - (3-x)(3)) \\

&= (2-x) \cdot (-18 - 3x + 6x + x^2 + 20) - 4 \cdot (-18 - 3x + 12) - 4 \cdot (15 - (9 - 3x)) \\

&= (2-x) \cdot (x^2 + 3x + 2) - 4 \cdot (-6 - 3x) - 4 \cdot (6 + 3x) \\

&= (2-x) \cdot (x+1)(x+2) + 24 + 12x - 24 - 12x \\

&= (2-x)(x+1)(x+2) \\

&= (2-x)(x^2 + 3x + 2) \\

&= 4+6x+2x^2 -x^3 - 3x^2 - 2x \\

&= -x^3 - x^2 + 4x + 4

\end{aligned}$

行列式が0になるような $x$ を求めるので、次の式を解きます。

$-x^3 - x^2 + 4x + 4 = 0$

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2(x+1) - 4(x+1) = 0$

$(x^2 - 4)(x+1) = 0$

$(x-2)(x+2)(x+1) = 0$

したがって、$x = 2$, $x = -2$, $x = -1$

3. 最終的な答え

$x = -2, -1, 2$