半径6cmの球を、中心を通る平面で4等分した立体の体積と表面積を求める問題です。

1. 問題の内容

半径6cmの球を、中心を通る平面で4等分した立体の体積と表面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 体積の計算

球の体積の公式は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ です。

この立体は球の $\frac{1}{4}$ であるため、体積は

$V = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi r^3$

$r = 6$ を代入して

$V = \frac{1}{3} \pi (6)^3 = \frac{1}{3} \pi (216) = 72\pi$ cm$^3$

(2) 表面積の計算

表面積は、球の表面の $\frac{1}{4}$ と、切り口である扇形2つ分の面積を足し合わせたものです。

球の表面積の公式は $A = 4\pi r^2$ です。

球の表面の $\frac{1}{4}$ の面積は

$\frac{1}{4} \times 4\pi r^2 = \pi r^2$

$r=6$を代入すると

$\pi (6)^2 = 36\pi$ cm$^2$

切り口の扇形は半径6cmの円の半分の面積に相当するので、その面積は

$\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (6)^2 = \frac{1}{2} \pi (36) = 18\pi$ cm$^2$

切り口の扇形は2つあるため、合計で$2 \times 18\pi = 36\pi$ cm$^2$

したがって、立体の表面積は

$36\pi + 36\pi = 72\pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

体積： $72\pi$ cm$^3$

表面積： $72\pi$ cm$^2$