ベクトル $A = (\cos\theta, \sin\theta, 0)$ とベクトル $B = (-\sin\theta, \cos\theta, 0)$ が与えられたとき、これらのベクトルの外積 $A \times B$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $A = (\cos\theta, \sin\theta, 0)$ とベクトル $B = (-\sin\theta, \cos\theta, 0)$ が与えられたとき、これらのベクトルの外積 $A \times B$ を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルの外積の公式を用いる。ベクトル $A = (a_1, a_2, a_3)$ とベクトル $B = (b_1, b_2, b_3)$ の外積 $A \times B$ は次のように計算される。

$$A \times B = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$$

与えられたベクトル $A = (\cos\theta, \sin\theta, 0)$ と $B = (-\sin\theta, \cos\theta, 0)$ を外積の公式に当てはめる。

$$A \times B = (\sin\theta \cdot 0 - 0 \cdot \cos\theta, 0 \cdot (-\sin\theta) - \cos\theta \cdot 0, \cos\theta \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot (-\sin\theta))$$

$$A \times B = (0 - 0, 0 - 0, \cos^2\theta + \sin^2\theta)$$

三角関数の恒等式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を用いる。

$$A \times B = (0, 0, 1)$$

3. 最終的な答え

$(0, 0, 1)$