座標平面上の円 $C: x^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2(x-1) + k$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a=1$ のとき、$C$ と $l$ の位置関係を答える。 (i) $k = 2 - \sqrt{5}$ のとき、原点 $(0, 0)$ と直線 $l$ の距離を求める。 (ii) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点をもつ $k$ の範囲を求める。 (iii) 領域 $D, E$ を $D: x^2 + y^2 \leq 5$, $E: y \geq 2(x-1) + k$ とするとき、$D \subset E$ となる $k$ の範囲を求める。 (2) $a=0$ とするとき、 (i) $k = -\sqrt{5}$ のとき、原点 $(0, 0)$ と直線 $l$ の距離を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の円 $C: x^2 + y^2 = 5$ と直線 $l: y = 2(x-1) + k$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a=1$ のとき、$C$ と $l$ の位置関係を答える。

(i) $k = 2 - \sqrt{5}$ のとき、原点 $(0, 0)$ と直線 $l$ の距離を求める。

(ii) 円 $C$ と直線 $l$ が共有点をもつ $k$ の範囲を求める。

(iii) 領域 $D, E$ を $D: x^2 + y^2 \leq 5$, $E: y \geq 2(x-1) + k$ とするとき、$D \subset E$ となる $k$ の範囲を求める。

(2) $a=0$ とするとき、

(i) $k = -\sqrt{5}$ のとき、原点 $(0, 0)$ と直線 $l$ の距離を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $a=1$ は問題文に関係がないので無視します。

直線 $l$ の式を $2x - y + (k - 2) = 0$ と変形します。原点 $(0, 0)$ と直線 $l$ の距離 $d$ は、公式より

$d = \frac{|2(0) - (0) + k - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 2|}{\sqrt{5}}$

$k = 2 - \sqrt{5}$ のとき、

$d = \frac{|(2 - \sqrt{5}) - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{|-\sqrt{5}|}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$

(ii) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = 2x - 2 + k$ が共有点を持つ条件は、原点と直線の距離が円の半径 $\sqrt{5}$ 以下であることです。

$\frac{|k - 2|}{\sqrt{5}} \leq \sqrt{5}$

$|k - 2| \leq 5$

$-5 \leq k - 2 \leq 5$

$-3 \leq k \leq 7$

(iii) $D \subset E$ となる条件は、円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の全ての点 $(x, y)$ が $y \geq 2(x - 1) + k$ を満たすことです。これは、円 $x^2 + y^2 = 5$ が領域 $E$ に含まれることと同値です。

言い換えると、$y = 2x - 2 + k$ が円の下側にあるときを考えれば良いので、$y \geq 2x - 2 + k$の直線が常に円より上側に位置していればよい。

したがって、円と直線が接するか、交わらない場合に $D \subset E$ となります。

つまり、円と直線の距離 $d$ が円の半径 $\sqrt{5}$ より大きいか等しければ良い。

$\frac{|k - 2|}{\sqrt{5}} \geq \sqrt{5}$

$|k - 2| \geq 5$

$k - 2 \geq 5$ または $k - 2 \leq -5$

$k \geq 7$ または $k \leq -3$

選択肢の中から不等号の向きに注意すると、$\geq$ である⑤を選び、$k \leq -3$となります。

$D \subset E$ なので、$k \geq 7$ のときも成り立ちます。

(2) $a=0$ は問題文に関係がないので無視します。

$k = -\sqrt{5}$ のとき、

$d = \frac{|k - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{|-\sqrt{5} - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{5} = 1 + \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

(i) 1

(ii) -3, 7

(iii) -3, ⑤

(2)

(i) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}}$ または $1+\frac{2\sqrt{5}}{5}$