ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ のベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{6}$ のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求める。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算することで得られる。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(-4) - (5)(-1) \\ (5)(2) - (1)(-4) \\ (1)(-1) - (3)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 5 \\ 10 + 4 \\ -1 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{pmatrix}$

このベクトル $\begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{pmatrix}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直である。次に、このベクトルの大きさを計算する。

$|\begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{pmatrix}| = \sqrt{(-7)^2 + (14)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 196 + 49} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}$

求めるベクトルは大きさが $\sqrt{6}$ でなければならないので、上記のベクトルを $\frac{\sqrt{6}}{7\sqrt{6}} = \frac{1}{7}$ 倍する。

$\frac{1}{7} \begin{pmatrix} -7 \\ 14 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

また、$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と逆向きのベクトルも条件を満たすので、

$-\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

以上より、求めるベクトルは $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ または $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$