四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDを4:1に内分する点をE、線分OEの中点をFとする。直線CFが平面OABと交わる点をGとするとき、点Gの位置ベクトルを$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す問題を解く。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、線分CDを4:1に内分する点をE、線分OEの中点をFとする。直線CFが平面OABと交わる点をGとするとき、点Gの位置ベクトルを$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す問題を解く。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの位置ベクトル$\vec{OD}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$で表す。Dは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB}$

(2) 点Eの位置ベクトル$\vec{OE}$を$\vec{OC}, \vec{OD}$で表す。Eは線分CDを4:1に内分するので、

$\vec{OE} = \frac{1}{5} \vec{OC} + \frac{4}{5} \vec{OD} = \frac{1}{5} \vec{OC} + \frac{4}{5} \left( \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB} \right) = \frac{4}{15} \vec{OA} + \frac{8}{15} \vec{OB} + \frac{1}{5} \vec{OC}$

(3) 点Fの位置ベクトル$\vec{OF}$を$\vec{OE}$で表す。Fは線分OEの中点なので、

$\vec{OF} = \frac{1}{2} \vec{OE} = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{15} \vec{OA} + \frac{8}{15} \vec{OB} + \frac{1}{5} \vec{OC} \right) = \frac{2}{15} \vec{OA} + \frac{4}{15} \vec{OB} + \frac{1}{10} \vec{OC}$

(4) 点Gの位置ベクトル$\vec{OG}$を$\vec{OC}, \vec{OF}$で表す。Gは直線CF上にあるので、$k$を実数として、

$\vec{OG} = (1-k) \vec{OC} + k \vec{OF} = (1-k) \vec{OC} + k \left( \frac{2}{15} \vec{OA} + \frac{4}{15} \vec{OB} + \frac{1}{10} \vec{OC} \right) = \frac{2k}{15} \vec{OA} + \frac{4k}{15} \vec{OB} + \left( 1-k + \frac{k}{10} \right) \vec{OC} = \frac{2k}{15} \vec{OA} + \frac{4k}{15} \vec{OB} + \left( 1 - \frac{9k}{10} \right) \vec{OC}$

(5) 点Gは平面OAB上にあるので、$\vec{OG}$は$\vec{OA}, \vec{OB}$の線形結合で表せる。したがって、$\vec{OC}$の係数は0である。

$1 - \frac{9k}{10} = 0$ より、$k = \frac{10}{9}$

(6) $k = \frac{10}{9}$を$\vec{OG}$に代入する。

$\vec{OG} = \frac{2}{15} \cdot \frac{10}{9} \vec{OA} + \frac{4}{15} \cdot \frac{10}{9} \vec{OB} = \frac{4}{27} \vec{OA} + \frac{8}{27} \vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OG} = \frac{4}{27} \vec{OA} + \frac{8}{27} \vec{OB}$