ベクトル $\vec{a} = (4, -3)$ と $\vec{b} = (2, 1)$ が与えられている。まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を計算する。次に、$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ (ここで $t$ は実数) とする。$\vec{a}$ と $\vec{p}$ が垂直であるときの $t$ の値を求める。最後に、$|\vec{p}|$ が最小となるときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, -3)$ と $\vec{b} = (2, 1)$ が与えられている。まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を計算する。次に、$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ (ここで $t$ は実数) とする。$\vec{a}$ と $\vec{p}$ が垂直であるときの $t$ の値を求める。最後に、$|\vec{p}|$ が最小となるときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算する。

内積の定義より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (-3)(1) = 8 - 3 = 5$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{p}$ が垂直であるときの $t$ の値を求める。

$\vec{a}$ と $\vec{p}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ である。

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b}$ なので、$\vec{a} \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{a} + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$|\vec{a}|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$

$25 + 5t = 0$

$5t = -25$

$t = -5$

(3) $|\vec{p}|$ が最小となるときの $t$ の値を求める。

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{b} = (4, -3) + t(2, 1) = (4+2t, -3+t)$

$|\vec{p}|^2 = (4+2t)^2 + (-3+t)^2 = (16 + 16t + 4t^2) + (9 - 6t + t^2) = 5t^2 + 10t + 25$

$|\vec{p}|^2$ が最小となる $t$ の値を求めるために、平方完成を行う。

$5t^2 + 10t + 25 = 5(t^2 + 2t) + 25 = 5(t^2 + 2t + 1 - 1) + 25 = 5((t+1)^2 - 1) + 25 = 5(t+1)^2 - 5 + 25 = 5(t+1)^2 + 20$

$|\vec{p}|^2$ は $t = -1$ のときに最小値 20 をとる。したがって、$|\vec{p}|$ が最小となるのは $t = -1$ のときである。

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

$\vec{a}$ と $\vec{p}$ が垂直であるとき $t = -5$

$|\vec{p}|$ が最小となる時 $t = -1$