3点 $A(2, 0, 0)$, $B(0, 4, 0)$, $C(0, 0, 3)$ を通る平面上に点 $P(1, y, -3)$ があるとき、$y$ の値を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(2, 0, 0)$, $B(0, 4, 0)$, $C(0, 0, 3)$ を通る平面上に点 $P(1, y, -3)$ があるとき、$y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

平面 $ABC$ 上の任意の点 $P$ は、実数 $s, t$ を用いて、

$\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表すことができる。

$\vec{AP} = (1-2, y-0, -3-0) = (-1, y, -3)$

$\vec{AB} = (0-2, 4-0, 0-0) = (-2, 4, 0)$

$\vec{AC} = (0-2, 0-0, 3-0) = (-2, 0, 3)$

よって、

$(-1, y, -3) = s(-2, 4, 0) + t(-2, 0, 3) = (-2s - 2t, 4s, 3t)$

成分ごとに比較すると、以下の連立方程式を得る。

\begin{align*}

-1 &= -2s - 2t \\

y &= 4s \\

-3 &= 3t

\end{align*}

第3式より $t = -1$ 。

第1式に代入して $-1 = -2s - 2(-1)$、つまり $-1 = -2s + 2$ 。

したがって $2s = 3$ より $s = \frac{3}{2}$ 。

第2式に $s = \frac{3}{2}$ を代入して $y = 4 \times \frac{3}{2} = 6$ 。

3. 最終的な答え

$y = 6$