全体集合 $U$ を1桁の自然数全体の集合とし、$A = \{4, 5, 8, 9\}$、$B = \{1, 2, 3, 4, 8\}$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $A$の部分集合のうち、要素の個数が2個であるものをすべて求める。 (2) 次の集合を要素を書き並べる方法で表す。① $A \cup B$ ② $A \cap B$

## 問題1

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を1桁の自然数全体の集合とし、$A = \{4, 5, 8, 9\}$、$B = \{1, 2, 3, 4, 8\}$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $A$の部分集合のうち、要素の個数が2個であるものをすべて求める。

(2) 次の集合を要素を書き並べる方法で表す。① $A \cup B$ ② $A \cap B$

2. 解き方の手順

(1) $A$ の部分集合で要素が2個のものは、Aの要素から2個を選んで作る組み合わせをすべて列挙する。

(2)

① $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の要素をすべて含んだ集合である。同じ要素は一度だけ書く。

② $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

3. 最終的な答え

(1) $\{4, 5\}, \{4, 8\}, \{4, 9\}, \{5, 8\}, \{5, 9\}, \{8, 9\}$

(2)

① $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9\}$

② $A \cap B = \{4, 8\}$

## 問題2

1. 問題の内容

ある学年で通学方法の調査をしたところ、学年全体の人数500人のうち、バスを利用している人が238人、電車を利用している人が210人、バスと電車の両方を利用している人が76人であった。この学年全体で、バスも電車も利用していない人は何人か。

2. 解き方の手順

ベン図を使って考える。

バスを利用している人を $B$ 、電車を利用している人を $T$ とする。

$n(U) = 500$ (全体)

$n(B) = 238$ (バス)

$n(T) = 210$ (電車)

$n(B \cap T) = 76$ (バスと電車)

$n(B \cup T) = n(B) + n(T) - n(B \cap T)$ (バスまたは電車を利用する人数)

バスも電車も利用していない人は $n(U) - n(B \cup T)$ で計算できる。

3. 最終的な答え

$n(B \cup T) = 238 + 210 - 76 = 372$

$500 - 372 = 128$ 人

## 問題3

1. 問題の内容

4500世帯が住んでいるP地区で、4人以上の家族がいる世帯は2750世帯ある。また、4人以上の家族がいる世帯で自動車を所有している世帯は2125世帯ある。P地区で自動車を所有している世帯は3625世帯ある。

(1) P地区で3人以下の家族の世帯は何世帯か。

(2) P地区で自動車を所有していない世帯は何世帯か。

(3) 3人以下の家族の世帯で自動車を所有していない世帯は何世帯か。

2. 解き方の手順

(1) 全世帯数から4人以上の家族がいる世帯数を引けばよい。

(2) 全世帯数から自動車を所有している世帯数を引けばよい。

(3) ベン図で考える。

4人以上の家族がいる世帯をA、自動車を所有している世帯をBとする。

$n(U) = 4500$

$n(A) = 2750$

$n(A \cap B) = 2125$

$n(B) = 3625$

(1)より$A^c$の要素数は$4500 - 2750 = 1750$ (3人以下の家族の世帯)

(2)より$B^c$の要素数は$4500 - 3625 = 875$ (自動車を所有していない世帯)

$n(A^c \cap B^c) = n((A \cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 2750 + 3625 - 2125 = 4250$

$n(A^c \cap B^c) = 4500 - 4250 = 250$

3. 最終的な答え

(1) 1750世帯

(2) 875世帯

(3) 250世帯

## 問題4

1. 問題の内容

3桁の自然数のうち、6では割り切れるが9では割り切れない数の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

3桁の自然数で6で割り切れる数の個数を求める。

3桁の自然数で6と9両方で割り切れる数(18で割り切れる数)の個数を求める。

6で割り切れる数の個数から18で割り切れる数の個数を引けばよい。

3桁の最小の数は100、最大の数は999。

6で割り切れる最小の数は102、最大の数は996。

6で割り切れる数は、$102 = 6 \times 17$ から $996 = 6 \times 166$ まで。

6で割り切れる数の個数は $166 - 17 + 1 = 150$ 個。

18で割り切れる最小の数は108、最大の数は990。

18で割り切れる数は、$108 = 18 \times 6$ から $990 = 18 \times 55$ まで。

18で割り切れる数の個数は $55 - 6 + 1 = 50$ 個。

求める個数は $150 - 50 = 100$ 個

3. 最終的な答え

100個

## 問題5

1. 問題の内容

$P = \{n | n は 36以下の自然数\}$とし、$A = \{2n | n \in P\}$、$B = \{\frac{72}{n} | n \in P\}$とするとき、$A \cap B$を、要素を書き並べる方法で表せ。

2. 解き方の手順

$P$ は1から36までの自然数全体の集合。

$A$ は $P$ の要素を2倍した集合なので、$A = \{2, 4, 6, ..., 72\}$。ただし、$2n \le 72$ なので、$n \le 36$。

$B$ は $\frac{72}{n}$ が自然数となる $n$ の集合。つまり、$n$ は72の約数。

$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合。

つまり、72の約数のうち偶数であるものを探す。

72の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

このうち偶数は 2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 72

したがって、$A \cap B = \{2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 72\}$

3. 最終的な答え

$\{2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 72\}$

## 問題6

1. 問題の内容

300人の生徒を対象に好きなスポーツのアンケート調査を行った。結果はサッカー172人、テニス128人、野球145人、サッカーとテニス67人、テニスと野球60人、サッカーと野球55人、3つとも好きでない人は12人であった。サッカーとテニスは好きだが野球は好きではない人の人数を求めよ。

2. 解き方の手順

ベン図を使って考える。

サッカーをS, テニスをT, 野球をBとする。

$n(U) = 300$

$n(S) = 172$

$n(T) = 128$

$n(B) = 145$

$n(S \cap T) = 67$

$n(T \cap B) = 60$

$n(S \cap B) = 55$

3つとも好きでない人は12人なので、$n((S \cup T \cup B)^c) = 12$

$n(S \cup T \cup B) = 300 - 12 = 288$

$n(S \cup T \cup B) = n(S) + n(T) + n(B) - n(S \cap T) - n(T \cap B) - n(S \cap B) + n(S \cap T \cap B)$

$288 = 172 + 128 + 145 - 67 - 60 - 55 + n(S \cap T \cap B)$

$288 = 263 + n(S \cap T \cap B)$

$n(S \cap T \cap B) = 288 - 263 = 25$

求める人数は、サッカーとテニスが好きで、野球が好きでない人なので、$n(S \cap T \cap B^c)$

$n(S \cap T) = n(S \cap T \cap B) + n(S \cap T \cap B^c)$

$67 = 25 + n(S \cap T \cap B^c)$

$n(S \cap T \cap B^c) = 67 - 25 = 42$

3. 最終的な答え

42人

## 問題7

1. 問題の内容

100以下の自然数のうち、2でも3でも5でも割り切れない数は何個あるか。

2. 解き方の手順

包除原理を使って考える。

全体集合 $U = \{1, 2, 3, ..., 100\}$

2で割り切れる集合をA, 3で割り切れる集合をB, 5で割り切れる集合をCとする。

$n(U) = 100$

$n(A) = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

$n(B) = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

$n(C) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$n(B \cap C) = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$

$n(A \cap C) = \lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$

$n(A \cap B \cap C) = \lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cup B \cup C) = 50 + 33 + 20 - 16 - 6 - 10 + 3 = 74$

2でも3でも5でも割り切れない数は $n(U) - n(A \cup B \cup C) = 100 - 74 = 26$

3. 最終的な答え

26個