行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$AB - BA$ を計算し、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$AB - BA$ を計算し、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 4 \cdot 6 & 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \\ -3 \cdot 3 + 5 \cdot 6 & -3 \cdot 1 + 5 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 24 & 2 - 4 \\ -9 + 30 & -3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & -2 \\ 21 & -8 \end{pmatrix}$

次に、$BA$ を計算します。

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) & 3 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \\ 6 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) & 6 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3 & 12 + 5 \\ 12 + 3 & 24 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 17 \\ 15 & 19 \end{pmatrix}$

最後に、$AB - BA$ を計算します。

$AB - BA = \begin{pmatrix} 30 & -2 \\ 21 & -8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 17 \\ 15 & 19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 - 3 & -2 - 17 \\ 21 - 15 & -8 - 19 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 & -19 \\ 6 & -27 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 27 & -19 \\ 6 & -27 \end{pmatrix}$

選択肢１が正解です。