不等式 $4 \leq |3x-1| < 7$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $4 \leq |3x-1| < 7$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くためには、絶対値の中身が正の場合と負の場合を分けて考える必要があります。

(i) $3x-1 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq \frac{1}{3}$ のとき、

$|3x-1| = 3x-1$ となるので、不等式は

$4 \leq 3x-1 < 7$ となります。

各辺に1を足すと、

$5 \leq 3x < 8$

各辺を3で割ると、

$\frac{5}{3} \leq x < \frac{8}{3}$

$x \geq \frac{1}{3}$ という条件との共通範囲を考えると、

$\frac{5}{3} \leq x < \frac{8}{3}$

(ii) $3x-1 < 0$ のとき、つまり $x < \frac{1}{3}$ のとき、

$|3x-1| = -(3x-1) = -3x+1$ となるので、不等式は

$4 \leq -3x+1 < 7$ となります。

各辺から1を引くと、

$3 \leq -3x < 6$

各辺を-3で割ると（負の数で割るので不等号の向きが変わる）、

$-2 < x \leq -1$

$x < \frac{1}{3}$ という条件との共通範囲を考えると、

$-2 < x \leq -1$

(i)と(ii)の結果を合わせると、

$-2 < x \leq -1$ または $\frac{5}{3} \leq x < \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$-2 < x \leq -1$ または $\frac{5}{3} \leq x < \frac{8}{3}$