与えられた不等式 $|x+1| + 3x + 4 \ge 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|x+1| + 3x + 4 \ge 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、絶対値の中身の符号によって場合分けをして考えます。

(1) $x + 1 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge -1$ のとき、 $|x+1| = x+1$ となるので、不等式は次のようになります。

$x + 1 + 3x + 4 \ge 0$

$4x + 5 \ge 0$

$4x \ge -5$

$x \ge -\frac{5}{4}$

このとき、$x \ge -1$ と $x \ge -\frac{5}{4}$ の両方を満たす必要があります。 $-1 = -\frac{4}{4}$ なので、$x \ge -1$ が解となります。

(2) $x + 1 < 0$ のとき、つまり $x < -1$ のとき、 $|x+1| = -(x+1)$ となるので、不等式は次のようになります。

$-(x + 1) + 3x + 4 \ge 0$

$-x - 1 + 3x + 4 \ge 0$

$2x + 3 \ge 0$

$2x \ge -3$

$x \ge -\frac{3}{2}$

このとき、$x < -1$ と $x \ge -\frac{3}{2}$ の両方を満たす必要があります。 $-\frac{3}{2} = -1.5$ であり、$-1 = -1$ なので、$-\frac{3}{2} \le x < -1$ が解となります。

(1) と (2) の結果を合わせると、$x \ge -1$ または $-\frac{3}{2} \le x < -1$ となります。これは、$x \ge -\frac{3}{2}$ を意味します。

3. 最終的な答え

$x \ge -\frac{3}{2}$