二重根号 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ を外す問題です。

1. 問題の内容

二重根号 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ を外す問題です。

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ を外すには、$a = x+y$ かつ $b = xy$ となる $x$ と $y$ を見つけます。すると、

$$\sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{x+y+2\sqrt{xy}} = \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$$

となります。

この問題の場合、$a = 5$、$b = 6$ です。

$x+y = 5$ かつ $xy = 6$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=2$, $y=3$ または $x=3$, $y=2$ が当てはまります。

どちらの場合でも、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ と $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ となり、同じです。

したがって、

$$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{2+3+2\sqrt{2\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{2}+\sqrt{3}$$

または

$$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3+2+2\sqrt{3\cdot2}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$$

ここで、一般的に $\sqrt{x^2} = |x|$ であることに注意します。今回は $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ は正の値なので、絶対値を外してそのまま $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ とできます。また、通常は大きい方を先に書くので、$\sqrt{3} + \sqrt{2}$ とします。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}+\sqrt{2}$