次の2つの不等式を解く問題です。 (1) $8^x > \frac{1}{4}$ (2) $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{8}$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を解く問題です。

(1) $8^x > \frac{1}{4}$

(2) $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{8}$

2. 解き方の手順

(1) $8^x > \frac{1}{4}$ について

まず、両辺を2の累乗で表します。

$8 = 2^3$ なので、$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$となります。

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$ なので、不等式は次のようになります。

$2^{3x} > 2^{-2}$

底が2で1より大きいので、指数部分の大小関係は不等号の向きと一致します。したがって、

$3x > -2$

両辺を3で割ると、

$x > -\frac{2}{3}$

(2) $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{8}$ について

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ なので、$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$となります。

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$ なので、不等式は次のようになります。

$2^{-x} < 2^{-3}$

底が2で1より大きいので、指数部分の大小関係は不等号の向きと一致します。したがって、

$-x < -3$

両辺に-1をかけると、不等号の向きが変わります。

$x > 3$

3. 最終的な答え

(1) $x > -\frac{2}{3}$

(2) $x > 3$