花子さんが経営する店で販売している商品Aについて、過去のデータから価格と売上数の関係を分析し、利益を最大化するための価格設定を検討する問題です。具体的には、売上数と価格の関係を一次関数で表し、売上金額や利益を最大にする価格を求めます。また、目標とする利益額を達成するための価格範囲を求めます。

1. 問題の内容

花子さんが経営する店で販売している商品Aについて、過去のデータから価格と売上数の関係を分析し、利益を最大化するための価格設定を検討する問題です。具体的には、売上数と価格の関係を一次関数で表し、売上金額や利益を最大にする価格を求めます。また、目標とする利益額を達成するための価格範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 売上数 $y$ を価格 $x$ の一次関数で表す。

表から2点 $(220, 90)$ と $(240, 80)$ を通る直線の式を求める。

傾きは $(80-90)/(240-220) = -10/20 = -1/2$

$y = -\frac{1}{2} x + b$ に $(220, 90)$ を代入して $90 = -\frac{1}{2} \cdot 220 + b$

$90 = -110 + b$ より $b = 200$

したがって、$y = -\frac{1}{2}x + 200$

売上金額 $z = xy = x(-\frac{1}{2}x + 200) = -\frac{1}{2}x^2 + 200x$

$z$ を最大にする $x$ の値は、平方完成することで求められる。

$z = -\frac{1}{2}(x^2 - 400x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 400x + 200^2 - 200^2) = -\frac{1}{2}(x-200)^2 + \frac{1}{2} \cdot 200^2 = -\frac{1}{2}(x-200)^2 + 20000$

よって、$x=200$ のとき $z$ は最大値 $20000$ をとる。

(2) 1個あたりの材料費が120円のとき、利益 $w$ は

$w = (\text{売上金額}) - (\text{材料費}) = xy - 120y = (-\frac{1}{2}x + 200)(x-120) = -\frac{1}{2}x^2 + 200x + 60x - 24000 = -\frac{1}{2}x^2 + 260x - 24000$

$w$ を最大にする $x$ の値は、平方完成することで求められる。

$w = -\frac{1}{2}(x^2 - 520x) - 24000 = -\frac{1}{2}(x^2 - 520x + 260^2 - 260^2) - 24000 = -\frac{1}{2}(x-260)^2 + \frac{1}{2} \cdot 260^2 - 24000 = -\frac{1}{2}(x-260)^2 + \frac{67600}{2} - 24000 = -\frac{1}{2}(x-260)^2 + 33800 - 24000 = -\frac{1}{2}(x-260)^2 + 9800$

よって、$x=260$ のとき $w$ は最大値 $9800$ をとる。

$w$ が8000以上になるようにする。

$-\frac{1}{2}x^2 + 260x - 24000 \ge 8000$

$-\frac{1}{2}x^2 + 260x - 32000 \ge 0$

$x^2 - 520x + 64000 \le 0$

解の公式より、

$x = \frac{520 \pm \sqrt{520^2 - 4 \cdot 64000}}{2} = \frac{520 \pm \sqrt{270400 - 256000}}{2} = \frac{520 \pm \sqrt{14400}}{2} = \frac{520 \pm 120}{2}$

$x = 320, 200$

$200 \le x \le 320$

1個あたりの材料費が価格の40%のとき、材料費は $0.4x$ となる。

$w = xy - 0.4xy = 0.6xy = 0.6(-\frac{1}{2}x^2 + 200x) = -0.3x^2 + 120x$

$w$ を最大にする $x$ は、平方完成より

$w = -0.3(x^2 - 400x) = -0.3(x^2 - 400x + 200^2 - 200^2) = -0.3(x-200)^2 + 0.3 \cdot 200^2 = -0.3(x-200)^2 + 0.3 \cdot 40000 = -0.3(x-200)^2 + 12000$

よって、$x=200$ のとき $w$ は最大値 $12000$ をとる。

3. 最終的な答え

アイウ: -1

エ: 2

オ: 2

カキク: 200

ケ: 2

コ: 1

サ: 2

シスセ: 260

ソタチツテ: 24000

トナニ: 260

ヌネノ: 200

ハヒフ: 200