与えられた数式 $(2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6})(-2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})$ を計算し、簡略化された形を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数式 $(2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6})(-2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})$ を計算し、簡略化された形を求めます。

2. 解き方の手順

まず、式を整理しやすくするために、次のようにグループ化します。

$(2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6})(-2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6}) = ((\sqrt{2} + \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{3}))((\sqrt{2} + \sqrt{6}) - (2 + \sqrt{3}))$

これは、和と差の積の形 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ であり、$a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$、$b = 2 + \sqrt{3}$ と考えることができます。

したがって、

$(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 - (2 + \sqrt{3})^2$

$(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 2 + 2\sqrt{12} + 6 = 8 + 2\sqrt{4 \times 3} = 8 + 2(2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3}$

$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

したがって、

$(8 + 4\sqrt{3}) - (7 + 4\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3} - 7 - 4\sqrt{3} = 1$

3. 最終的な答え

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