与えられた数学の問題は、対数の計算と変形に関する3つの小問から構成されています。 (1) $3^4 = 81$ を $x = \log_a N$ の形で表す。 (2) $\log_a 32 = 5$ を満たす $a$ の値を求める。 (3) $\log_a 3 = \frac{1}{2}$ を満たす $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、対数の計算と変形に関する3つの小問から構成されています。

(1) $3^4 = 81$ を $x = \log_a N$ の形で表す。

(2) $\log_a 32 = 5$ を満たす $a$ の値を求める。

(3) $\log_a 3 = \frac{1}{2}$ を満たす $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 指数関数から対数関数への変換

$3^4 = 81$ を $x = \log_a N$ の形にするには、$a = 3$, $x = 4$, $N = 81$ と考えます。したがって、$\log_3 81 = 4$となります。

(2) 対数方程式の解法

$\log_a 32 = 5$ を満たす $a$ の値を求めるには、対数の定義から $a^5 = 32$ となります。

$32 = 2^5$ なので、$a^5 = 2^5$となり、$a = 2$です。

(3) 対数方程式の解法

$\log_a 3 = \frac{1}{2}$ を満たす $a$ の値を求めるには、対数の定義から $a^{\frac{1}{2}} = 3$ となります。

両辺を2乗すると $(a^{\frac{1}{2}})^2 = 3^2$となり、$a = 9$です。

3. 最終的な答え

(1) $\log_3 81 = 4$

(ア) 4

(イ) 3

(ウ) 81

(2) $a = 2$

(ア) 2

(3) $a = 9$

(ア) 9