与えられた二次式 $5x^2 + 7x + 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $5x^2 + 7x + 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた二次式を因数分解するために、たすき掛けを利用します。

$5x^2 + 7x + 2$ を $(ax + b)(cx + d)$ の形に因数分解することを考えます。

$ac = 5$, $bd = 2$, $ad + bc = 7$ を満たす $a, b, c, d$ を見つけます。

$5$ は素数なので、$a$ と $c$ の組み合わせは $5$ と $1$ しかありません。つまり、$a=5, c=1$ と置くことができます。

すると、$(5x + b)(x + d)$ となり、$bd = 2$ かつ $5d + b = 7$ を満たす $b, d$ を見つけます。

$2$ の約数は $1$ と $2$ なので、$b$ と $d$ の組み合わせは $(1, 2)$ か $(2, 1)$ です。

もし、$b=1, d=2$ とすると、$5d + b = 5(2) + 1 = 11 \neq 7$

もし、$b=2, d=1$ とすると、$5d + b = 5(1) + 2 = 7$

したがって、$b=2, d=1$ が条件を満たします。

したがって、

$5x^2 + 7x + 2 = (5x + 2)(x + 1)$

3. 最終的な答え

$(5x + 2)(x + 1)$