$x = 4 + \sqrt{2}$, $y = 4 - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = 4 + \sqrt{2}$, $y = 4 - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理する。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$

次に、$x^2$, $y^2$, $xy$ をそれぞれ計算する。

$x^2 = (4 + \sqrt{2})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 + 8\sqrt{2} + 2 = 18 + 8\sqrt{2}$

$y^2 = (4 - \sqrt{2})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 - 8\sqrt{2} + 2 = 18 - 8\sqrt{2}$

$xy = (4 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{2}) = 4^2 - (\sqrt{2})^2 = 16 - 2 = 14$

したがって、

$y^2 + x^2 = (18 - 8\sqrt{2}) + (18 + 8\sqrt{2}) = 36$

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{36}{14} = \frac{18}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{18}{7}$