2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}$, $3 \le x$ となるような $a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次不等式 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解が $x \le -\frac{1}{2}$, $3 \le x$ となるような $a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた解は、$x \le -\frac{1}{2}$ または $3 \le x$ である。このことは、$x = -\frac{1}{2}$ と $x = 3$ が $2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ の解であることを示唆している。しかし、不等式の向きを考えると、 $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ の解がこのように分離された形になるのは、$a < 0$ の場合である。よって、$2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ の解は $x = -\frac{1}{2}$ と $x = 3$ であると仮定する。

解と係数の関係から、2つの解の和と積は以下のようになる。

和：$-\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2}$

積：$-\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2}$

二次方程式 $2ax^2 + 2bx + 1 = 0$ を $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{1}{2a} = 0$ と変形する。

すると、解と係数の関係から、

$-\frac{b}{a} = \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2a} = -\frac{3}{2}$

2つ目の式から、$2a = -\frac{2}{3}$ なので、$a = -\frac{1}{3}$ となる。

これを1つ目の式に代入すると、

$-\frac{b}{-\frac{1}{3}} = \frac{5}{2}$

$3b = \frac{5}{2}$

$b = \frac{5}{6}$

したがって、$a = -\frac{1}{3}$ と $b = \frac{5}{6}$ を $2ax^2 + 2bx + 1 \le 0$ に代入すると、

$2(-\frac{1}{3})x^2 + 2(\frac{5}{6})x + 1 \le 0$

$-\frac{2}{3}x^2 + \frac{5}{3}x + 1 \le 0$

$-2x^2 + 5x + 3 \le 0$

$2x^2 - 5x - 3 \ge 0$

$(2x + 1)(x - 3) \ge 0$

よって、$x \le -\frac{1}{2}$ または $3 \le x$ となる。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{3}$

$b = \frac{5}{6}$