問題は、一次不定方程式 $3x - 7y = 4$ の全ての整数解を求めることです。問題文の指示に従って、空欄を埋めていくことで解を導きます。

1. 問題の内容

問題は、一次不定方程式 $3x - 7y = 4$ の全ての整数解を求めることです。問題文の指示に従って、空欄を埋めていくことで解を導きます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$3x - 7y = 4$ の整数解の一つを見つけます。問題文には $x = 6$ と与えられているので、$3 \cdot 6 - 7y = 4$ を解いて $y$ の値を求めます。

$18 - 7y = 4$

$7y = 14$

$y = 2$

したがって、$x = 6, y = 2$ は整数解の一つです。

(2) 次に、$3 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 4$ を用いて、$3x - 7y = 4$ から $3 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 4$ を引きます。

$(3x - 7y) - (3 \cdot 6 - 7 \cdot 2) = 4 - 4$

$3(x - 6) - 7(y - 2) = 0$

$3(x - 6) = 7(y - 2)$

(3) $3(x - 6) = 7(y - 2)$ という式が得られました。3と7は互いに素なので、$x - 6$ は7の倍数でなければなりません。したがって、$k$ を整数として、$x - 6 = 7k$ と表せます。

(4) $x = 7k + 6$ を $3(x - 6) = 7(y - 2)$ に代入すると、

$3(7k) = 7(y - 2)$

$3k = y - 2$

$y = 3k + 2$

したがって、全ての整数解は $x = 7k + 6$, $y = 3k + 2$ (ただし、$k$ は整数) と表されます。

3. 最終的な答え

$y$ = 2

$3 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 4$

$3(x-6) = 7(y-2)$

$x-6$ は 7 の倍数

$x = 7k+6, y = 3k+2$