$x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$、$y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求め、また、不等式 $0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解いて $x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$、$y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ のとき、$x+y$ と $xy$ の値を求め、また、不等式 $0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解いて $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

問題3について

まず、$x$ と $y$ の分母を有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{2 - 3} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$

$y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 - 3} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

次に、$x+y$ を計算します。

$x+y = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = -4\sqrt{2}$

最後に、$xy$ を計算します。

$xy = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{4}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{4}{2 - 3} = \frac{4}{-1} = -4$

問題4について

不等式 $0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解きます。

まず、左側の不等式 $0.4 < 0.1x+1$ を解きます。

$0.4 < 0.1x+1$

$-0.6 < 0.1x$

$-6 < x$

$x > -6$

次に、右側の不等式 $0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$ を解きます。

$0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

$0.1x+1 < \frac{x}{2} + 1.4$

$0.1x - \frac{x}{2} < 1.4 - 1$

$0.1x - 0.5x < 0.4$

$-0.4x < 0.4$

$x > -1$ （不等号の向きが変わることに注意）

したがって、$x > -6$ と $x > -1$ を満たす $x$ の範囲は $x > -1$ です。

3. 最終的な答え

$x+y = -4\sqrt{2}$

$xy = -4$

$x > -1$

ソタ：-4

チ：2

ツテ：-4

トナ：-1