以下の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $2ax^2 - 8a$ (2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ (3) $(x-4)(3x+1) + 10$ (4) $2n^3 + 3n^2 + n$

1. 問題の内容

以下の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $2ax^2 - 8a$

(2) $ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$

(3) $(x-4)(3x+1) + 10$

(4) $2n^3 + 3n^2 + n$

2. 解き方の手順

(1)

共通因数 $2a$ でくくります。

$2ax^2 - 8a = 2a(x^2 - 4)$

$x^2 - 4$ は $x^2 - 2^2$ と変形できるので、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用います。

$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$

よって、$2a(x^2 - 4) = 2a(x+2)(x-2)$

(2)

$ax^2 + by^2 - ay^2 - bx^2$ を整理します。

$ax^2 - bx^2 + by^2 - ay^2 = x^2(a-b) + y^2(b-a)$

$b-a = -(a-b)$ なので、$x^2(a-b) + y^2(b-a) = x^2(a-b) - y^2(a-b)$

$(a-b)$ でくくると、$x^2(a-b) - y^2(a-b) = (a-b)(x^2 - y^2)$

$x^2 - y^2$ は二乗の差の形なので、$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

よって、$(a-b)(x^2 - y^2) = (a-b)(x+y)(x-y)$

(3)

$(x-4)(3x+1) + 10$ を展開します。

$(x-4)(3x+1) = 3x^2 + x - 12x - 4 = 3x^2 - 11x - 4$

$(x-4)(3x+1) + 10 = 3x^2 - 11x - 4 + 10 = 3x^2 - 11x + 6$

$3x^2 - 11x + 6$ を因数分解します。

$3x^2 - 11x + 6 = (3x-2)(x-3)$

(4)

$2n^3 + 3n^2 + n$ を因数分解します。

共通因数 $n$ でくくると、$2n^3 + 3n^2 + n = n(2n^2 + 3n + 1)$

$2n^2 + 3n + 1$ を因数分解します。

$2n^2 + 3n + 1 = (2n+1)(n+1)$

よって、$n(2n^2 + 3n + 1) = n(2n+1)(n+1)$

3. 最終的な答え

(1) $2a(x+2)(x-2)$

(2) $(a-b)(x+y)(x-y)$

(3) $(3x-2)(x-3)$

(4) $n(2n+1)(n+1)$