以下の式を因数分解します。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ (5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ (7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1), (3), (5), (7) を解きます。

1. 問題の内容

以下の式を因数分解します。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

まず、後ろの3項を $-(y^2 - 2y + 1)$ としてまとめます。

これは $-(y-1)^2$ となります。

したがって、式は $4x^2 - (y-1)^2$ となります。

これは、差の2乗の形 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ になっているので、

$(2x + (y-1))(2x - (y-1))$ と因数分解できます。

よって、$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$ となります。

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

まず、共通因数でくくります。

$x^2(x+a) - (x^2+a)$

正しくは、$x^2(x+a) - 1(x^2+a)$ではありません。

正しくは、$x^2(x+a) - 1(x^2+a)$ではありません。$x^3 + ax^2 - x - a = x^2(x+a) - (x+a)$ です。

$x^2(x+a) - (x+a)$

$(x+a)(x^2-1)$

$(x+a)(x+1)(x-1)$

となります。

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (2y+7)x - y^2 + 3y + 4$

次に、定数項を因数分解します。

$-y^2 + 3y + 4 = -(y^2 - 3y - 4) = -(y-4)(y+1) = (4-y)(y+1)$

したがって、

$3x^2 + (2y+7)x + (4-y)(y+1)$

$(3x + (y+1))(x + (4-y))$

$3x^2 + 12x - 3xy + xy + x + 4y + 4 - y^2 - y$

$3x^2 - 2xy - y^2 + 13x + 3y + 4$

ここで、$3x^2 + 2xy - y^2$ を因数分解すると $(3x-y)(x+y)$

したがって、

$(3x - y + a)(x + y + b)$ とおくと

$3x^2 + 2xy - y^2 + (a+3b)x + (a-b)y + ab = 3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

$a+3b = 7$, $a-b = 3$, $ab=4$

$a = b+3$ を $a+3b = 7$ に代入すると $b+3+3b = 7$ より $4b = 4$, $b=1$

$a = 1+3 = 4$

よって、$(3x - y + 4)(x + y + 1)$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

展開します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$a$ について整理します。

$a(b^2 - c^2) + a^2(c - b) + bc(c - b)$

$a(b^2 - c^2) - a^2(b - c) + bc(c - b)$

$a(b - c)(b + c) - a^2(b - c) - bc(b - c)$

$(b - c)(a(b + c) - a^2 - bc)$

$(b - c)(ab + ac - a^2 - bc)$

$(b - c)(-a^2 + ab + ac - bc)$

$(b - c)(-a(a - b) + c(a - b))$

$(b - c)(a - b)(c - a)$

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3) $(x+a)(x+1)(x-1)$

(5) $(3x - y + 4)(x + y + 1)$

(7) $-(a-b)(b-c)(c-a)$