$a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、次の問いに答える。 (1) この関数の最大値が7のとき、定数 $a$ の値を求める。 (2) この関数の最小値が-6のとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。2次関数 $y = ax^2 - 4ax + 2$ ($1 \le x \le 5$) について、次の問いに答える。

(1) この関数の最大値が7のとき、定数 $a$ の値を求める。

(2) この関数の最小値が-6のとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = ax^2 - 4ax + 2 = a(x^2 - 4x) + 2 = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2 = a((x - 2)^2 - 4) + 2 = a(x - 2)^2 - 4a + 2$

したがって、軸は $x = 2$ である。

(1) 最大値が7のとき

$a > 0$ より、上に凸なグラフなので、定義域 $1 \le x \le 5$ において、$x=5$ のとき最大値を取る。

$x = 5$ のとき、$y = a(5)^2 - 4a(5) + 2 = 25a - 20a + 2 = 5a + 2$

$5a + 2 = 7$ より、$5a = 5$ なので、$a = 1$

(2) 最小値が-6のとき

軸 $x=2$ は区間 $1 \le x \le 5$ に含まれるので、頂点で最小値をとる。

$y = a(x - 2)^2 - 4a + 2$ より、最小値は $-4a + 2$ である。

$-4a + 2 = -6$ より、$-4a = -8$ なので、$a = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a = 2$