与えられた積分を計算する問題です。 $\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分をそれぞれの項に分けます。

$\int 5x^4 dx - \int 3x^2 dx + \int \frac{3\sqrt{x}}{2} dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int \frac{3\sqrt{x}}{2} dx = \frac{3}{2} \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

したがって、

$\int (5x^4 - 3x^2 + \frac{3\sqrt{x}}{2}) dx = x^5 - x^3 + x^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$x^5 - x^3 + x^{\frac{3}{2}} + C$