(1) 不等式 $|2x-3| > 5$ を解く。 (2) 不等式 $|x-a| < 3$ の解を $a$ を用いて表す。 (3) 不等式 $|x-a| < 3$ の解が、不等式 $|2x-3| > 5$ の解に含まれるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $|2x-3| > 5$ を解く。

(2) 不等式 $|x-a| < 3$ の解を $a$ を用いて表す。

(3) 不等式 $|x-a| < 3$ の解が、不等式 $|2x-3| > 5$ の解に含まれるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|2x-3| > 5$ を解く。

絶対値の定義から、

$2x-3 > 5$ または $2x-3 < -5$ となる。

$2x-3 > 5$ のとき、

$2x > 8$

$x > 4$

$2x-3 < -5$ のとき、

$2x < -2$

$x < -1$

したがって、不等式 $|2x-3| > 5$ の解は $x < -1$ または $x > 4$。

(2) 不等式 $|x-a| < 3$ を解く。

絶対値の定義から、

$-3 < x-a < 3$

$a-3 < x < a+3$

(3) 不等式 $|x-a| < 3$ の解が、不等式 $|2x-3| > 5$ の解に含まれる条件を求める。

不等式 $|x-a| < 3$ の解は $a-3 < x < a+3$。

不等式 $|2x-3| > 5$ の解は $x < -1$ または $x > 4$。

$a-3 < x < a+3$ が $x < -1$ または $x > 4$ に含まれるには、次の2つの場合がある。

(i) $a+3 \leq -1$ のとき、$x < -1$ に含まれる。

このとき、$a \leq -4$

(ii) $4 \leq a-3$ のとき、$x > 4$ に含まれる。

このとき、$7 \leq a$

したがって、$a \leq -4$ または $7 \leq a$

3. 最終的な答え

(1) $x < -1$ または $x > 4$

(2) $a-3 < x < a+3$

(3) $a \leq -4$ または $a \geq 7$